解：$(1)$令$y=0$得$x^2+x-2=0，$解得$x_1=-2，$$x_2=1$
∴图像与$x$轴有两个交点，交点的横坐标分别为$-2，$$1$
当$x=-2$或$1$时，$y=0$
∴相应的一元二次方程$x^2+x-2=0$的根为$x_1=-2，$$x_2=1$
$ (2)$令$y=0$得$x^2-6x+9=0，$解得$x_1=x_2=3$
∴图像与$x$轴有一个交点，交点的横坐标为$3$
当$x=3$时，$y=0$
∴相应的一元二次方程$x^2-6x+9=0$的根为$x_1=x_2=3$
$ (3)$∵$(-1)^2-4=-3<0$
∴函数$y=x^2-x+1$的图像与$x$轴没有交点
