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解：过点$A$作$AD⊥BC，$垂足为点$D$

设$AD=x$

∵$∠C=45°$

∴$DC=AD=x，$$AC=\sqrt 2x，$$AB=\sqrt 2AC=2x$

$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=\sqrt 3x$

∴$BC=BD+DC=\sqrt 3x+x=\sqrt 6+\sqrt 2$

∴$x=\sqrt 2$

∴$AC=\sqrt 2x=2$

解：如图，过点$D$作$DE⊥AB$于点$E$

$(1)$由题意得，在$Rt△ADE$中，$DE=AD×sinA=6\sqrt 3$

∴四边形$ABCD$的面积为$10×6\sqrt 3=60\sqrt 3$

$(2)$由题意得，在$Rt△ADE$中，$DE=AD×sinA=ysinα$

∴四边形$ABCD$的面积为$AB×DE=xysinα$

解：$(1)$∵$AD⊥BC，$$∠C=45°$

∴$AD=DC=1$

∵$sinB=\frac {AD}{AB}=\frac 13 $

∴$AB=3$

∴$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=2\sqrt 2$

∴$BC=BD+DC=2\sqrt 2+1$

$(2)$∵点$E$是$BC$的中点

∴$CE=\frac 12BC=\sqrt 2+\frac 12$

∴$DE=CE-CD=\sqrt 2-\frac 12$

∴$tan∠DAE=\frac {DE}{AD}=\sqrt 2-\frac 12$

解：$(1)AB=\sqrt {12^2+5^2}=13$

$∠ADE=90°-∠A=∠B$

∴$cos∠ADE=cosB=\frac {BC}{AB}=\frac 5{13}$

$(2)$设$DE=5x，$则$AD=13x，$$CD=5x$

$AC=13x+5x=12，$解得$x=\frac 23$

∴$AD=\frac {26}3$

解：如图，过点$A$作$AC⊥BD$于点$C$

由题意得$tan B=1∶1.5=\frac 23$

∴$BC=\frac {15}2m$

∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {5^2+(\frac {15}2)^2}≈9.01m$

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