解：如图，过点$A$作$AE⊥BD$于点$E，$过点$C$作$CF⊥AE$于点$F$
由题意得$BD=6$海里，$AE=5$海里，$CD⊥BD$
∵$AE⊥BD，$$CF⊥AE$
∴四边形$CDEF$是矩形
∴$CF=DE$
在$Rt△ABE$中，$BE=AE×tan ∠BAE=5tan 22°($海里)
∴$CF=DE=BD-BE=(6-tan 55°)$海里
在$Rt△ACF$中，$AC=CF÷sin∠CAF=\frac {6-5tan 22°}{sin 67°}≈4.3$海里
∴观测塔$A$与渔船$C$之间的距离为$4.3$海里
