解：$(1)$由题意得$CM=t m，$$AN=2tm$
∵$∠C=90° $
∴$AB=\sqrt {BC^2+AC^2}=13m$
∵$∠AMN=∠ANM $
∴$AM=AN$
∴当$t$为$4s$时，$∠AMN=∠ANM$
$(2)$如图，过点$N$作$NH⊥AC$于点$H$
∵$∠AHN=∠C=90°$
∴$NH//BC$
∴$△ANH∽△ABC$
∴$\frac {AN}{AB}=\frac {NH}{BC}，$即$\frac {2t}{13}=\frac {NH}5$
∴$NH=\frac {10t}{13}m$
∴$S_{△AMN}=\frac 12×AM×NH=-\frac 5{13}(t-6)^2+\frac {180}{13}$
当$t$为$6s$时，$△AMN$的面积最大，最大为$\frac {180}{13}\mathrm {m^2}$
