$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形
∴$∠B=90°，$$AD//BC$
∴$∠PAF=∠AEB$
∵$PF⊥AE $
∴$∠AFP=∠B=90°$
∵$∠PAF=∠AEB$
∴$△PFA∽△ABE$
$(2)$解：存在
∵点$E$是$BC$的中点
∴$BE=\frac 12BC=2$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$∠B=90°$
∴$AE=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$
①当$△FPE∽△BAE$时，$∠EPF=∠EAB$
∵$△PFA∽△ABE $
∴$∠APF=∠EAB$
∴$∠APF=∠EPF$
∵$PF⊥AE $
∴$PF$垂直平分$AE$
∴$AF=\frac 12AE$
∵$△PFA∽△ABE$
∴$\frac {AP}{EA}=\frac {AF}{EB}，$即$\frac {x}{2\sqrt 5}=\frac {\sqrt 5}2$
∴$x=5$
②当$△FEP∽△BAE$时，$∠PEF=∠EAB$
∴$AB//EP$
∵点$E$是$BC$的中点
∴点$P$是$AD$的中点
∴$x=\frac 12×4=2$
综上所述，$x$的值为$5$或$2$
