解：$(2)$设$△ABC$的姊妹三角形为$△DEF，$且$DE=DF，$如图
∵在$△ABC$中，$AB=AC，$$∠A=30°，$$BC=\sqrt 6-\sqrt 2$
∴$∠B=∠C=75°$
过点$B$作$BG⊥AC，$垂足为点$G，$设$BG=x，$则$AB=AC=2x，$$AG=\sqrt 3x$
∴$CG=AC-AG=2x-\sqrt 3x=(2-\sqrt 3)x$
在$Rt△BGC$中，$BG^2+CG^2=BC^2$
∴$x^2+(2-\sqrt 3)^2x^2=(\sqrt 6-\sqrt 2)^2$
∴$x=1$
∴$AB=AC=2$
$①∠D=∠ABC=75°，$$DE=DF=BC=\sqrt 6-\sqrt 2$
②当$∠E=∠A=30°$时，$∠EDF=120°，$$EF=AB=2，$如图
过点$D$作$DH⊥EF，$垂足为点$H$
∵$DE=DF$
∴$EH=\frac 12EF=1$
∴$ED=\frac {EH}{cos 30°}=\frac {2\sqrt 3}3$
∴$△ABC$的姊妹三角形的顶角为$75°$时，腰长为$\sqrt 6-\sqrt 2$
顶角为$120°$时，腰长为$\frac {2\sqrt 3}3$
