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解：$(1)S_{△ABD}=S_{△ADC}，$理由如下：

过点$A$作$AH⊥BC$于点$H，$

因为$AD$是$△ABC$的中线，

所以$BD=CD，$

又因为$S_{△ABD}=\frac 1 2BD×AH，$$S_{△ACD}=\frac 12CD×AH，$

所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}．$

$(2)$因为$FG$是$△EFC$的中线，

所以$S_{△EFG}=S_{△GFC}=1{cm}^2，$

所以$S_{△EFC}=2S_{△GFC}=2{cm}^2．$

同理可得，$S_{△ABC}=2S_{△ACD}=4S_{△CDE}=8S_{△EFC}=16{cm}^2$

解：因为AD是边BC上的高，

所以∠ADB=90°．

因为∠B=50°，

所以∠BAD=180°-90°-50°=40°．

因为∠EAD=5°，

所以∠BAE=40°-5°=35°．

因为AE是∠BAC的平分线，

所以∠BAC=2∠BAE=70°．

因为∠B=50°，

所以∠C=60°．

$解：(1)因为∠BAC=70°，∠B=40°，$

$所以∠BCA=180°-70°-40°=70°．$

$因为CE是△ABC的角平分线，$

$所以∠BCE=\frac 1 2∠BCA=35°．$

$因为∠BCD=180°-90°-40°=50°，$

$所以∠DCE=50°-35°=15°．$

$(2)∠DCE=\frac 1 2(α-β)$