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解：BE=CF且BE⊥CF，证明如下：

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ OB=OC，∠BOE=∠COF=90°

在△BOE和△COF中，

${{\begin{cases} { {OB=OC}} \\{∠BOE=∠COF} \\ {OE=OF} \end{cases}}}$

∴ △BOE≌△COF(SAS)

∴ BE=CF，∠BEO=∠CFO

∵ ∠COF=90°，

∴ ∠CFO+∠OCF=90°

∴ ∠BEO+∠OCF=90°

∴ BE⊥CF

$证明：连接FG，$

$∵ E、F、G分别是AB、CD、AC的中点$

$∴ EG是△ABC的中位线，FG是△ACD的中位线$

$∴ EG=\frac 1 2BC，FG=\frac 1 2AD$

$∵ AD=BC$

$∴ EG=FG，即△EFG为等腰三角形$

$∵ H是EF的中点$

$∴ GH⊥EF$

解：∵ 正方形$OABC$的边长为$1$

∴$ OC=OA=AB=BC=1，$$∠OCB=90°，$

$∠COB=45°，$$OC//AB$

在$Rt△OBC$中，∵$ OC=BC=1$

∴$ OB={\sqrt {{OC}^2+{BC}^2}}={\sqrt {2}}$

∵$ OD=OC=1$

∴$ BD=\sqrt {2}-1，$

$∠OCD=∠ODC=\frac {180°-45°}2=67.5°$

∴$ ∠BDE=∠ODC=67.5°$

∵$ OC//AB$

∴$ ∠BED=∠OCD=67.5°$

∴$ ∠BED=∠BDE$

∴$ BD=BE=\sqrt {2}-1，$$AE=1-(\sqrt {2}-1)=2-\sqrt {2}$

∴$ E(1，$$2-\sqrt {2})$