解：$(1)$设第一次参加球类活动的学生有$x$名。
根据题意,得$x=0.8x+0.3(400-x)$
解得$x=240$
∴第一次有$240$人参加球类活动
$(2)$设第一次参加球类活动的学生有$y$名。
根据题意,得
第二次参加人数：$ 0.8y+0.3(400-y)=0.5y+120($人)
第三次参加人数：$ 0.8(0.5y+120)+ 0.3(400-0.5y-120)=0.25y+180($人)
$0.25y+180≥200$
$ y≥80$
∴第一次参加球类活动的学生最少有$80$名
