解$：(1)$由题可知
$∠BAC=180°-∠B-∠C= 180°-30°-50°=100°$
∵$∠BAE=∠CAE=\frac 12∠BAC$
∴$∠CAE=\frac 12×100°=50°$
∴$∠AEC=180°-50°-50°=80°$
∴$∠DEH=80°$
$∠EDH=90° -80°=10°$
$(2)∠C-∠B=2∠EDH$
证明$：∠C=180°-∠CAE-∠AEC$
$∠B=180°-∠BAD-∠AEB$
$∠C-∠B=180°-∠CAE-∠AEC-(180°-∠BAD-∠AEB)$
$=∠AEB-∠AEC=180°-∠AEC-∠AEC=180°-2∠AEC$
$=2(90°-∠AEC)=2(90°-∠DEH)=2∠EDH$
