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证明: ∵ 四边形$ A B C D $是平行四边形, 对角线$ A C 、$$ {BD} $交于点$ {O} ，$

∴${OB}={OD}, {OA}={OC} \text {. }$

又 ∵$E ， F{分别} $是$ O A 、$$ O C $的中点,

∴${OE}=\frac {1}{2} {OA}， {OF}=\frac {1}{2} {OC}， $

∴${OE}={OF} .$

∵ 在$ \triangle {BEO} $与$ \triangle {DFO} $中$， {OE}={OF} ，$

$∠{BOE}=∠{DOF}, {OB}={OD} \text {, }$

∴$\triangle B E O ≌ \triangle D F O $

∴${BE}={DF} .$

证明：$(1)$因为四边形$ABCD$是平行四边形

所以$AB=CD，$$ BC=AD，$$ ∠ABC=∠ADC .$

因为$△ABE$是等边三角形

所以$AB=BE，$$ ∠ABE=60°$

所以$BE=CD$

因为$△ADF$是等边三角形

所以$AD=DF，$$∠ADF=60°$

所以$BC=DF，$$∠ABE=∠ADF$

因为$∠ABC=∠ADC$

所以$∠ABC+∠ABE=∠ADF+∠ADC .$

即$∠CBE=∠FDC$

在$△CBE$和$△FDC$中

$\begin {cases}{BC=DF }\\{∠CBE=∠FDC} \\{BE=DC} \end {cases}$

所以$△CBE≌△FDC(\mathrm {SAS})$

所以$CE=CF$

$(2)$因为$△CBE≌△FDC$

所以$∠BEC=∠DCF$

在$△BCE$中

$∠BEC+∠BCE+∠ABE+∠ABC= 180°$

所以$∠BEC+∠ BCE+∠ABC= 180°-60°= 120°$

即$∠DCF+∠BCE+∠ABC= 120°$

因为四边形$ABCD$是平行四边形

所以$AB//CD$

所以$∠ABC+∠BCD= 180°$

即$∠ABC+∠DCF+∠BCE+∠ECF=180°$

所以$∠ECF= 180°-120°=60°$