第62页 - 苏科版八年级数学课课练答案（上下册）

证明：$(1)$因为$BE=2DE，$$EF=BE$

所以$EF=2DE$

因为$D、$$E$分别是$AB、$$AC$的中点

所以$BC=2DE$且$DE//BC$

所以$EF=BC$

又因为$EF//BC$

所以四边形$BCFE$是平行四边形

又因为$EF=BE$

所以四边形$BCFE$是菱形

$(2)$过点$E$作$EH⊥BC$于点$H$

因为四边形$BCFE$是菱形

所以$∠BCE=\frac {1}{2}∠BCF = 60°，$$ BE= BC$

所以$△BCE$是等边三角形

所以$BE=CE=BC=2$

因为$EH⊥BC$

所以$CH =\frac {1}{2}BC=1$

所以$EH=\sqrt {CE²-CH²}=\sqrt {3}$

所以菱形$BCFE$的面积为$2×\sqrt {3}= 2\sqrt {3}$

2:1

证明$： (1)$因为四边形$ABCD$是矩形

所以$AB=DC，$$∠A=∠D=90°$

因为$M$为$AD$中点

所以$AM=DM$

在$△ABM$和$△DCM$

$\begin {cases}{AM=DM }\\{∠A=∠D} \\{AB=DC} \end {cases}$

所以$△ABM≌△DCM (\mathrm {SAS})$

$(2)$四边形$MENF $是菱形

因为$N、$$ E、$$F{分别} $是$BC、$$BM、$$CM$的中点

所以$NE//CM，$$NE=\frac {1}{2}CM，$$MF=\frac {1}{2}CM$

所以$NE=FM$

所以四边形$MENF$是平行四边形

因为$△ABM≌△DCM$

所以$BM=CM$

因为$E、$$F{分别} $是$BM、$$CM$的中点

所以$ME=MF$

所以平行四边形$MENF$是菱形

证明$： (1)$因为点$F、$$G$分别是$AC$的三等分点

所以$AF=FG=CG$

因为点$D、$$E$分别是$AB、$$BC$的中点

所以$DF//BG，$$ EG//BF$

所以四边形$FBGH$是平行四边形

因为$AB=BC，$$∠ABC=90°$

所以$△ABC$是等腰直角三角形

所以$∠BAC=∠ACB$

在$△ABF $和$△CBG $中

$\begin {cases}{AB=CB }\\{∠BAC=∠ACB} \\{AF=CG} \end {cases}$

所以$△ABF≌△CBG(\mathrm {SAS})$

所以$BF= BG$

所以四边形$FBGH$是菱形

$(2)$四边形$ABCH$是正方形

连接$BH，$交$AC$于点$O$

因为四边形$FBGH$是菱形

所以$OF=OG，$$OB=OH$

所以$OF+AF=OG+CG $

即$OA=OC$

因为$OB=OH$

所以四边形$ABCH$是平行四边形

因为$∠ABC=90°$

所以四边形$ABCH$是矩形

因为$AB=BC$

所以四边形$ABCH$是正方形