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证明：连接$EG、$$EH、$$FG、$$FH，$

∵$E$为$AD$的中点，$H$为$AC$的中点，

∴$EH∥CD，$$EH=\frac {1}{2}CD，$

同理，$GF∥CD，$$GF=\frac {1}{2}CD，$

∴$EH∥GF，$$EH=GF，$

∴四边形$EGFH$为平行四边形，

∴$EF$与$GH$互相平分.

解:因为$CD=CA$

所以$△ACD$为等腰三角形

因为$CF $平分$∠ACB$

所以点$F $为$AD$的中点

因为$AE=BE$

所以点$E$是$AB$的中点

所以$EF$是$△ABD$的中位线

所以$EF=\frac {1}{2}BD$

因为$AC=6\ \mathrm {cm}，$$ BC= 10\ \mathrm {cm}$

所以$BD=BC-AC=4\ \mathrm {cm}$

所以$EF=2\ \mathrm {cm}$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AB//CD，$

∴$∠GAE=∠HCF，$

∵点$G，$$H$分别是$AB，$$CD$的中点，

∴$AG=CH，$

∵$AE=CF，$

∴$△AGE≌△CHF(\mathrm {SAS})，$

∴$GE=HF，$$∠AEG=∠CFH，$

∴$∠GEF=∠HFE，$

∴$GE//HF，$

又∵$GE=HF，$

∴四边形$EGFH$是平行四边形．

$(2)$连接$BD$交$AC$于点$O，$

∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$OA=OC，$$OB=OD，$

∵$BD=14，$

∴$OB=OD=7，$

∵$AE=CF，$$OA=OC，$

∴$OE=OF，$

∵$AE+CF=EF，$

∴$2AE=EF=2OE，$

∴$AE=OE，$

又∵点$G$是$AB$的中点，

∴$EG$是$△ABO$的中位线，

∴$EG=\frac {1}{2}OB=3.5．$

∴$EG $的长为$3.5$

C

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