证明：$ (1)$因为四边形$OABC$是矩形.
所以$∠OCB=∠OAB=90°$
所以$△COE、$$△AOF$是直角三角形.
因为$E、$$F$在反比例函数$y=\frac {k}{x}(x> 0)$的图像上
所以$S_{△COE} = S_{△OAF} =\frac {k}{2}$
因为$F $是$AB$的中点
所以$AF=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}OC $
因为$S_{△COE}= \frac {1}{2}OC×CE$
$S_{△OAF}=\frac {1}{2}OA×AF$
所以$CE=\frac {1}{2}\ \mathrm {OA} =\frac {1}{2}BC$
所以$E$为$BC$的中点
$(2)$设矩形$OABC$的长为$2a，$宽为$2b，$
则$F (2a，$$b)、$$E(a，$$2b)$
$S_{四边形}OEBF = S_{矩形}OABC- S_{△OCE}- S_{△OAP}$
$= 2a.2b-\frac {1}{2}a×2b-\frac {1}{2}×2a×b$
$= 2ab$
所以$2ab=2$
因为点$F$在反比例函数图像上
所以$k=2a×b=2$
