解：$(2)$存在，过$B'$作$MN//AB，$交$AD，$$BC$于点$M，$$N，$
过$E$作$EH//AD，$交$MN$于$H，$
∵$AD//BC，$$MN//AB，$
∴四边形$ABNM$是平行四边形，
又∵$∠A＝90°，$
∴四边形$ABNM$是矩形，
同理可得：四边形$AEHM$是矩形．
①如图$1，$若点$B'$在$AD$下方，则$B'M＝3\ \mathrm {cm}，$$B'N＝3\ \mathrm {cm}，$
∵$MH＝AE＝1(\mathrm {cm})，$
∴$B'H＝2(\mathrm {cm})，$
由折叠可得，$EB'＝EB＝5(\mathrm {cm})，$
∴$Rt△EB'H$中，$EH＝\sqrt {5²-2²}＝\sqrt {21}(\mathrm {cm})，$
∴$BN＝AM＝EH＝\sqrt {21}(\mathrm {cm})，$
∵$BP＝t，$
∴$PB'＝t，$$PN＝\sqrt {21}-t，$
∵$Rt△PB'N$中，$B'P²＝PN²+B'N²，$
∴$t²＝(\sqrt {21}-t)²+3²，$
解得$t＝\frac {5\sqrt {21}}{7}．$
②如图$2，$若点$B'$在$AD$上方，则$B'M＝3\ \mathrm {cm}，$$B'N＝9\ \mathrm {cm}，$
同理可得，$EH＝3\ \mathrm {cm}，$
∵$BP＝t，$∴$B'P＝t，$$PN＝t﹣3，$
∵$Rt△PB'N$中，$B'P²＝PN²+B'N²，$
∴$t²＝(t-3)²+9²，$
解得$t＝15．$
综上所述，$t$的值为$\frac {5\sqrt {21}}{7}$秒或$15$秒．
