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解$：(1)$将点$A(1，3)$分别代入$y_1=x+m$和$y_2=\frac {k}{x}，$得

$\begin {cases}{1+m=3 } \\{k=1×3} \end {cases}$

解得$m=2，k=3$

所以$y_1=x+2，y_2=\frac {3}{x}$

联立两个函数方程$\begin {cases}{y=x+2 } \\{y=\frac {3}{x}} \end {cases}$

解得$x=1，y=3$或$x=-3，y=-1$

所以$B$点坐标为$(-3，-1)$

$(2)$当$-3≤x< 0$或$x≥1$时，函数值$y_1≥y_2$

解$： (1)$设第一次所购杨梅的进货价是$x$元$/\mathrm {kg}$

$3×\frac {540}{x}=\frac {1710}{x+1}$

解方程得$x= 18$

经检验，$x=18$是所列方程的解

答:第一次所购杨梅的进货价是$18$元$/\mathrm {kg}。$

$(2)540÷18=30(\mathrm {kg})$

$30×3=90(\mathrm {kg})$

$30×(30×90\%+90×85\%)-(540+1710)=855($元)

答:该水果店售完这两批杨梅共可获利$855$元。