第131页 - 苏科版八年级数学课课练答案（上下册）

解:四边形$ADEF$是平行四边形，理由如下

因为点$D、$$E$是$BC、$$AC$的中点

所以$DE$是$△ABC$的中位线

所以$DE//AB，$$DE=\frac {1}{2}AB$

因为$AF=\frac {1}{2}AB$

所以$AF=DE$

因为$DE//AB$

所以四边形$ADEF$是平行四边形

证明$： (1) $∵$D E / / A C， C E / / B D ，$

∴ 四边形$ O C E D $是平行四边形.

∵ 矩形$ A B C D $的对角线$ A C， B D $相交于点$ O ，$

∴$A C=B D, O C=\frac{1}{2} A C, O D=\frac{1}{2} B D \text {, }$

∴$O C=O D， $∴ 四边形$ O C E D $是菱形.

$(2) $∵ 四边形$ A B C D $是矩形$， B C=3， D C=2 ，$

∴$O A=O B=O C=O D, S_{\text {矩形 } A B C D}=3 ×2=6 ,$

∴$S_{\triangle O C D}=\frac{1}{4} S_{\text {矩形 } A B C D}=\frac{1}{4} ×6=1.5 .$

∵ 四边形$ O C E D $是菱形,

∴ 菱形$ O C E D $的面积$ =2\ \mathrm {S}_{\triangle O C D}=2 ×1.5=3 .$

证明$：(1) $∵ 四边形$ A B C D $是正方形,

∴$∠A B C=∠A D C=90°， ∠D B C=∠B C A=∠A C D=45°，$

∵$C E $平分$ ∠D C A ，$

∴$∠A C E=∠D C E=\frac {1}{2} ∠A C D=22.5°， $

∴$∠B C E=∠B C A+∠A C E=45°+22.5°=67.5° $

∵$∠D B C=45°， $

∴$∠B E C=180°-67.5°-45°=67.5°， $

∴$∠B E C=∠B C E $

∴$B E=B C=1；$

在$ Rt \triangle B C D $中, 由勾股定理得：$BD=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt 2， $

∴$D E=B D-B E=\sqrt 2-1 ；$

∵$F E \perp C E ，$

∴$∠C E F=90°， $

∴$∠F E B=∠C E F-∠C E B=90°-67.5°=22.5°=∠D C E $

∵$∠F B E=∠C D E=45°， B E=B C=C D， $

∴$\triangle F E B \cong \triangle E C D， $

∴$B F=D E=\sqrt 2-1；$

∴$AF=AB-BF=1-(\sqrt 2-1)=2-\sqrt 2.$