证明$： (1) $∵ 四边形$ A B C D $是菱形$， ∠A B C=60° ，$
∴$A B=B C=A D=C D, ∠A D C=∠A B C=60° \text {, }$
∴$\triangle {ADC} $是等边三角形,
∴$A D=A C=A B=B C$
∴$\triangle A C B $是等边三角形,
∴$∠{ACB}=∠{ACD}=60°， $
∴$∠{ACF}=120°， $
∵$∠{ADC}=∠{EDF}=60°， $
∴$∠{ADE}=∠{CDF}， $
∵$∠{EDF}+∠{ECF}+∠{DEC}+∠{DFC}=360°， $
∴$∠{DEC}+∠{DFC}=180°， $
∵$∠{DEC}+∠{AED}=180°， $
∴$∠{AED}=∠{DFC}，$
在$ \triangle {ADE} $和$ \triangle {CDF} $中,
$\begin {cases}{∠A D E=∠C D F }\\{∠A E D=∠C F D }\\{A D=C D}\end {cases}$
∴$\triangle {ADE} \cong \triangle {CDF}({AAS})， $
∴${AE}={CF} ；$
$(2)$过点$B$作$ B H / / A C ， $交$ A G $的延长线于点$ {H} ，$
∵${BH}\ \mathrm {/} / {AC} ，$
∴$∠{H}=∠{GAE}， ∠{ABH}+∠{BAC}=180°， $
∴$∠{ABH}=120°=∠{ACF}，$
∵ 点$ {G} $为$ {BE} $的中点,
∴$B G=G E \text {, }$
在$ \triangle {AGE} $和$ \triangle {HGB} $中,
$\begin {cases}{∠H=∠G A E }\\{∠B G H=∠A G E， }\\{B G=G E}\end {cases}$
∴$\triangle {AGE} \cong \triangle {HGB}({AAS}) ，$
∴$A E=B H=C F, \quad A G=G H=\frac{1}{2} A H \text {, }$
在$ \triangle {ABH} $和$ \triangle {ACF} $中,
$\begin {cases}{A B=A C }\\{∠A B H=∠A C F， }\\{B H=C F}\end {cases}$
∴$\triangle {ABH} \cong \triangle {ACF}({SAS})， $
∴${AF}={AH}， $
∴${AF}=2 {AG} .$
