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证明：$(1)$因为$AB∥CD，$$AD∥BC$

所以四边形$ABCD$是平行四边形

所以$∠B+∠BCD=180°$

因为$∠B=∠BCD$

所以$B=90°$

所以四边形$ABCD$是矩形

$(2)$延长$BA，$$CM$交于点$E$

因为$M$为$AD$的中点，$N$为$AB$的中点

所以$AN=BN=1，$$AM=MD$

所以$AB=CD=2$

因为$AE∥DC$

所以$∠E=∠DCM$

在$△AEM$和$△DCM$中。

$\begin {cases}{∠E=∠MCD }\\{∠AME=∠DMC} \\{AM=DM} \end {cases}$

所以$△AEM≌△DCM(\mathrm {AAS}).$

所以$AE=CD=2$

因为$∠BNC=2∠DCM=∠E+∠NCE$

所以$∠NCE=∠DCM=∠E$

所以$CN=EN=AE+AN=2+1=3$

所以$BC²=CN²-BN²=3²-1²=8$

证明：$ (1)$因为四边形$ABCD$是正方形

所以$AD=CD，$$ ∠A=∠ADC=∠BCD=90°$

所以$∠ADP+∠PDC=90°$

因为$∠PDC+∠CDQ=90°$

所以$∠ADP=∠CDQ$

在$△ADP $和$△CDQ $中

$\begin {cases}{∠ADP=∠CDQ }\\{AD=CD} \\{∠A=∠DCQ} \end {cases}$

所以$△ADP≌△CDQ(\mathrm {ASA})$

所以$DP=DQ$

$(2)$猜想$PE=QE$

因为$DE$平分$∠PDQ$

所以$∠PDE=∠EDQ=45°$

在$△PDE$和$△QDE$中

$\begin {cases}{PD=QD }\\{∠PDE=∠QDE} \\{DE=DE} \end {cases}$

所以$△PDE≌△QDE(\mathrm {SAS})$

所以$PE=QE$

$(3)$因为$AB：$$ AP=3：$$4，$$ AB=6$

所以$AP=8，$$BP=2$

由$(1)$可知$AP=CQ$

所以设$CE=a，$$EQ=8-a$

由$(2)$可知$PE=EQ$

所以$PE=8-a$

在直角三角形$BPE$中

$BP²+ BE²= PE²$

所以$2²+(6+a)²=(8- a)²$

所以$a=\frac {6}{7}$

$EQ=\frac {50}{7}$

所以$S_{△DEP} =\frac {1}{2}\ \mathrm {EQ}×CD=\frac {150}{7}$