$解：(1)令x³+ax+1=(x+1)(x²+bx+c)=x³+ (b+1)x²+(c+b)x+c.\ $
$∵等式两边x同次幂的系数相等，$
$∴\begin{cases}{ b+1=0， }\ \\ { c+b=a， } \\ { c=1， }\end{cases}解得\begin{cases}{ a=0， }\ \\ { b=-1， } \\ { c=1，}\end{cases}$
$从而x³+ax+1=x³+1=(x+1)(x²-x+1).$
$(2)设3x⁴+ax³+bx-34=(x+1)(x-2)·M(其中M为二次整式)，$
$ 由材料可知x=-1是方程3x⁴+ax³+bx-34=0的解，$
$∴3-a-b-34=0，$
$ 得-a-b=34-3=31，$
$∴a+b=-31.$
