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解：设该厂第一季度生产甲种机器$x$台，乙种机器$y$台

根据题意，得${{\begin{cases} { {x+y=480}} \\{(1+10\%)x+(1+20\%)y=554}\end{cases}}}$

解得，${{\begin{cases} { {x=220}} \\{y=260}\end{cases}}}$

答：该厂第一季度生产甲种机器$220$台，乙种机器$260$台

解：$(1)$根据题意，得

$ {{\begin{cases} { {b+3=10}} \\{b+(20-a)×3.2+3=58}\end{cases}}}$

解得，${{\begin{cases} { {a=5}} \\{b=7}\end{cases}}}$

$ (2)$设小红家$5$月的煤气使用量为$x$立方米，则

$ 7+(x-5)×3.2+3=42$

解得，$x=15$

答：小红家$5$月的煤气使用量为$15$立方米

解：设大桥的长度为$x$米，火车的速度为$y$米$/$秒

根据题意，得${{\begin{cases} { {60y=x+200}} \\{40y=x-200}\end{cases}}}$

解得，${{\begin{cases} { {x=1000}} \\{y=20}\end{cases}}}$

答：大桥的长度为$1000$米，火车的速度为$20$米$/$秒.