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解：$ (1)∠BFE+∠DGE=∠FEG.$

理由：过点$E$作直线$EH // AB，$

则$∠BFE=∠FEH，$且$EH // CD，$

则$∠HEG=∠DGE.$

从而$∠FEG=∠FEH+∠HEG=∠BFE+∠DGE. $

$(2)EF⊥EG.$理由：

由$∠BEF+∠FEG+∠DEG= 180° ，$知$2∠FEG= 180° ，$

则$∠FEG= 90°，$从而$EF⊥EG.$

解：$2∠A=∠2- ∠1，$

理由：延长$BE，$$CD$交于点$A'. $

在$△A'DF$中，根据外角的性质得

$∠2=∠EFD+∠A'，$$∠EFD=∠1+∠A，$

∴$∠2=∠1+∠A+∠A’=2∠A+∠1，$

又$∠A=∠A'$

∴$2∠A=∠2-∠1.$

解：设第三边长为正整数x，分三种情况讨论：

(1)两边长分别为3、4时，周长为C= x+7， 1<x<7，且x是不等于3和4的正整数

所以x= 2， 5， 6.

这时C=9， 12，13.

(2)两边长分别为3、5时，周长C= x+8， 2< x< 8，且x是不等于3和5的正整数，

所以x=4， 6， 7.

这时C= 12， 14， 15.

(3) 两边长分别为4.5时，周长C=x+9， 1<x<9，且x是不等于4和5的正整数，

所以x=2， 3， 6， 7， 8.

这时C=11， 12， 15， 16， 17.

综上讨论，周长的值可为9、11.12、13、14、15、16、17共8个.

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