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$ {{\begin{cases} { {x=1}} \\{y=1}\end{cases}}}$

$ {{\begin{cases} { {x=2}} \\{y=2}\end{cases}}}$

$ {{\begin{cases} { {x=4}} \\{y=4}\end{cases}}}$

$x=y$

解：${{\begin{cases} { {3x+7y=10}} \\{7y+3x=10}\end{cases}}}$

它的解为${{\begin{cases} { {x=1}} \\{y=1}\end{cases}}}$

解：设小长方形的长为$x，$宽为$y，$由图可知，

${{\begin{cases} { {x+3y=14，①}} \\{x+y-2y=6，②}\end{cases}}}$

由②，得$x-y=6，$③

①-③，得$4y=8$

解得，$y=2$

将$y=2$代入③，得

$x=8$

所以${{\begin{cases} { {x=8}} \\{y=2}\end{cases}}}$

因此，大长方形$ABCD$的宽$AD=6+2y=6+2×2=10(\ \mathrm {cm})$

长方形$ABCD$的面积$=14×10=140(\ \mathrm {cm}²)$

阴影部分的总面积$=140-6×2×8=44(\ \mathrm {cm}²)$

解：$(1)$设$5$元、$8$元的笔记本分别买了$x$本、$y$本

根据题意，得

$ {{\begin{cases} { {x+y=40}} \\{5x+8y=300-68+13}\end{cases}}}$

解得，${{\begin{cases} { {x=25}} \\{y=15}\end{cases}}}$

$(2)$应找回的金额为$300-5×25-8×15=55≠68，$故不能找回$68$元