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解：$(1)$∵$∠B=74°，$$∠C=26°$

∴$∠BAC=80°$

∵$AE$平分$∠BAC$

∴$∠BAE=\frac 1 2∠BAC=40°$

∵$AD⊥BC$

∴$∠BAD=90°-∠B=16°$

∴$∠DAE=∠BAE-∠BAD=24°$

$(2)∠DAE=\frac 1 2(∠B-∠C)，$证明如下：

∵$∠BAC+∠B+∠C=180°($三角形内角和定理)

∴$∠BAC=180°-∠B-∠C($等式性质)

∵$AE$平分$∠BAC($已知)

∴$∠BAE=\frac 1 2∠BAC=90°-\frac 1 2∠B-\frac 1 2∠C($角平分线定义)

∵$AD⊥BC($已知)

∴$∠ADB=90°($垂直定义)

∵$∠BAD+∠B+∠ADB=180°($三角形内角和定理)

∴$∠BAD=180°-∠B-∠ADB=90°-∠B($等式性质)

∴$∠DAE=∠BAE-∠BAD$

$=(90°-\frac 1 2∠B-\frac 1 2∠C)-(90°-∠B)$

$=\frac 1 2(∠B-∠C)$

解：$(1)$如图所示.

$(2)AB//CD，$证明如下：

由题意得，$∠FDC=60°，$$∠CAB=60°$

∵$FD//AC$

∴$∠DCA=∠FDC=60°($两直线平行，内错角相等)

∵$∠CAB=60°$

∴$∠DCA=∠CAB$

∴$AB//CD($内错角相等，两直线平行)

$(3)$点$B$在点$C$的南偏西$30°$的方向上，理由如下：

由题意得，$∠CAD=30°$

∵点$B$在点$C$的南偏西$30°$的方向上

∴$∠ACB=30°$

∴$∠ACB=∠CAD$

∴$BC//AD($内错角相等，两直线平行)

解：$(1)∠1+∠2=2∠A，$证明如下：

由折叠的性质可知，$∠1=180°-2∠AED，$

$∠2=180°-2∠ADE$

∵$∠A=180°-∠AED-∠ADE$

∴$∠1+∠2=360°-2∠AED-2∠ADE=2∠A$

$(2)∠1-∠2=2∠A，$证明如下：

由折叠的性质可知，$∠1=180°-2∠AED，$

$∠2=2∠ADE-180°$

∴$∠1-∠2=(180°-2∠AED)-(2∠ADE-180°)$

$=360°-2∠AED-2∠ADE$

$=2(180°-∠AED-∠ADE)$

∵$∠A=180°-∠AED-∠ADE$

∴$∠1-∠2=2∠A$

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