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解：$(1)①$正方形的面积$={(a+1)}^2$或正方形的面积$=a^2+2a+1$

$(2)$如图，把该长方形视为一个边长为$a+b$的正方形时，其面积为${(a+b)}^2.$

同时，该长方形可视为四个长方形的拼图，四个长方形指两个边长分别为$a$和$b$

的正方形，以及两个相同的小长方形(长和宽分别为$a$和$b).$

此时，其面积为$a^2+b^2+2ab.$

由此，可推导出${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$

解：$∠BDC=∠A+∠B+∠C，$

理由如下：

连接$AD$并延长，记$AD$的延长线为$DE，$如图所示

∵$∠BDE=∠B+∠BAD，$$∠CDE=∠C+∠CAD$

∴$∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+(∠BAD+∠CAD)=∠B+∠C+∠A$

解：设$∠ADC=m°，$$∠AEC=n°，$则有

${{\begin{cases} { {∠DCE=m°+n°+50°}} \\{∠DBE=2m°+2n°+50°}\end{cases}}}$

∵$∠DBE=130°$

∴$m°+n°=40°$

∴$∠DCE=90°$