第47页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

矩形

相等

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证明： ∵$A C=A D，$$ A E \perp C D$

∴$E $是$ C D $的中点

又 ∵$F $是$ C B $的中点

∴$E F $为$ \triangle B C D $的中位线

∴$B D=2E F $

证明：连接$ E F $

∵四边形$ A B C D $是平行四边形

∴$A D=B C，$$ A D / / B C $

∵$E $是$ B C $的中点，$ F $是$ A D $的中点

∴$B E=\frac 12 \mathrm B C，$$ A F=\frac 12 \mathrm A D$

∴$A F=B E$

∴四边形$ A B E F $是平行四边形

∴$A G=E G $

同理$ E H=D H $

∴$G H / / A D $且$ G H=\frac 12 \mathrm A D $

解：延长$BD$交$AC$于点$F$

∵$AD$平分$∠BAC，$$BD⊥AD$

∴$△ABF$是等腰三角形，$AF=AB=12，$$BD=DF$

∴$CF=AC-AF=18-12=6$

∵点$E$是$BC$的中点

∴$DE$是$△BCF$的中位线

∴$DE=\frac 12CF=\frac 12×6=3$

证明：取$BE$的中点$F，$连接$DF，$得$DF//AC$

∵$AE=2DF，$$AE=2CE$

∴$DF=EC$

∵$∠DOF=∠COE，$$∠DFO=∠CEO$

∴$△ODF≌△OCE$

∴$OF=OE$

∵$BF=EF$

∴$OE=\frac 14BE$