证明$：(1) $∵ 四边形$ A B C D $是正方形,
∴$∠B C E=∠D C F=90° \text {, }B C=D C \text {, }$
在$ \triangle B C E $和$ \triangle D C F $中，
$\begin {cases}{B C=D C }\\{∠B C E=∠D C F }\\{C E=C F}\end {cases}$
∴$\triangle B C E ≌ \triangle D C F(S A S) ；$
$(2)\ \mathrm {O} G=\frac {1}{2}\ \mathrm {B} F ， $证明如下:
由$(1)$知$ \triangle B C E ≌ \triangle D C F ，$
∴$∠C D F=∠C B E， $
∵$∠C D F+∠F=90°， $
∴$∠C B E+∠F=90°， $
∴$∠B G F=90°， $
∴$∠B G D=90°, \text { 即 } ∠B G F=∠B G D$
∵$B E \text { 平分 } ∠D B C, $
∴$∠D B G=∠F B G，$
在$ \triangle D B G $和$ \triangle F B G $中,
$\begin {cases}{∠B G D=∠B G F }\\{B G=B G }\\{∠D B G=∠F B G}\end {cases}$
∴$\triangle D B G ≌ \triangle F B G(A S A)，$
∴$D G=F G ， $即点$ G $是$ D F $中点,
∵$O $是$ B D $中点,
∴$O G $是$ \triangle D B F $的中位线,
∴$O G=\frac {1}{2}\ \mathrm {B} F$
