第30页 - 补充习题江苏八年级数学人教版人民教育出版社

证明:∵$M G \perp A B， D E \perp A B $

∴$M G / / D E $

∵$M D \perp A C， G F \perp A C $

∴$M D / / G F$

∴ 四边形$ H G M D $是平行四边形

∵$M $是$ B C $的中点

∴$B M=C M$

∵$M G \perp A B， M D \perp A C $

∴$∠B G M=∠C D M=90° $

∵$A B=A C $

∴$∠B=∠C$

在$Rt \triangle B G M $和$Rt \triangle C D M $中

$\begin {cases}{∠B=∠C }\\{∠B G M=∠C D M }\\{B M=C M}\end {cases}$

∴$\triangle B G M \cong \triangle C D M(\mathrm{AAS}) $

∴$G M=D M$

又 ∵ 四边形$ H G M D $是平行四边形

∴ 四边形$ H G M D $是菱形

解: ∵$A B=A C， B D， C E $分别为中线, ∴$A D=A E $

∵$∠{A} $公共, ∴$\triangle {ABD} \cong \triangle {ACE}， $∴${BD}={CE} $

∵$∠A B O=∠A C E， ∠A B C=∠A C B ，$

∴$∠{MBC}=∠{MCB} $

∴${MB}={MC}， $∴${BD}-{BM}={CE}-{CM}， $∴${MD}= ME$

∵${EG}\ \mathrm {/} / {BD}， {DF}\ \mathrm {/} / {CE}， $∴${EMDN} $为平行四边形

又${MD}= ME ，$∴ 四边形$EMDN$为菱形,

∴$M N $与$DE $互相垂直平分.

解:满足$ A C=B D .$

∵$A C=B D，$$ E 、$$ F 、$$ G 、$$ H $分别是线段$ A B 、$$ B C 、$$ C D 、$$ A D $的中点,

则$ E H 、$$ F G $分别是$ \triangle A B D 、$$ \triangle B C D $的中位线,

$ E F 、$$ H G $分别是$ \triangle A B C 、$$ \triangle A C D $的中位线,

∴$E H=F G=\frac {1}{2}\ \mathrm {B} D，$

$E F=H G=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C，$

∴$\text { 当 } A C=B D \text { 时, } $

$E H=F G=F G=E F \text { 成立, }$

则四边形$ E F G H $是菱形.

$12$

$25\ \mathrm {cm}^2$

$240$

$4$

$2\frac 12$

证明: ∵ 四边形$ A B C D 、$$ D E F G $都是正方形,

∴$A D=C D， G D=E D， $

∵$∠C D G=90°+∠A D G， $

$∠A D E=90°+∠A D G $

∴$∠C D G=∠A D E=90°，$

在$ \triangle A D E $和$ \triangle C D G $中,

$\begin {cases}{A D=C D }\\{∠A D E=∠C D G， }\\{D E=G D}\end {cases}$

∴$\triangle A D E \cong \triangle C D G(S A S)， $

∴$A E=C G ；$