解$：(1)$设商店购进电视机$ x $台, 则购进洗衣机$ (100-x) $台，
根据题意,得$\begin {cases}{x \geqslant \frac {1}{2}(100-x) }\\{1800 x+1500(100-x) \leqslant 161800}\end {cases}$
解得$ 33 \frac {1}{3} \leqslant x \leqslant 39 \frac {1}{3} $
∵$x $为非负整数
∴$x=34,35,36,37,38,39 \text {, }$
即购进电视机最少$ 34 $台，最多$ 39 $台，商店有$ 6 $种进货方案.
$(2)$设商店销售完毕后获利为$ w $元，根据题意，得
$w=(2000-1800) x +(1600-1500)(100-x)$
即$ w=100 x+10000 $
∵$100>0$
∴$w $随$ x $的增大而增大
∵$33 \frac {1}{3} \leqslant x \leqslant 39 \frac {1}{3} ， $且$ x $为非负整数
∴ 当$ x=39 $时$， w $取最大值,
此时，$100-x=100-39=61$
∴商店购进$39$台电视机，$61$台洗衣机时，获得的利润最多.
