第50页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$ 解：∵AD//BC $

$ ∵四边形ABCD是矩形 $

$ ∵∠BOM=∠DON $

$ ∴ND=BM$

$ 同理可证，△AON≌△COM $

$ ∴AN+ND=BM+MC$

$ ∵AB=CD $

$ ∵AB=CD\ $

$∴S_{梯形ABMN}=S_{梯形CDNM}$

解：$MN$满足，$MN⊥AC$

解：$∵AB=CD=AD'，$$∠BAM+∠MAN=90°，$$∠MAN+∠NAD'=90°$

$ ∴∠BAM=∠NAD'$

又$∵∠B=∠D'=90°$

$ ∴△ABM≌△AD'N $

∵重叠部分是$△AMN，$不重叠部分是$∠ABM$和$△AD'N$

$ ∴\frac {S_{△ABM}+S_{△AD'N}}{S_{△AMN}}=\frac 12，$即$\frac {2×\frac 12AB ·BM}{\frac 12AB ·AN}=\frac 12$

$∴\frac {BM}{MC}=\frac 14$

B

A

B

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证明：$(1) ∵$在$ ▱A B C D $中，$ O $为对角线$ B D $的中点

$ ∴B O= D O，$$ \angle E D O=\angle F B O $

又$ ∵\angle E O D=\angle F O B$

$ ∴\triangle D O E ≌ \triangle B O F (\mathrm {ASA}) $

$ (2) $当$ \angle D O E=90° $时，四边形$ B E D F $为菱形，理由：

$ ∵\triangle D O E ≌ \triangle B O F$

$ ∴B F=D E $

又$ ∵B F / / D E $

∴四边形$ B E D F $是平行四边形

$ ∵B O=D O，$$ \angle E O D=90°$

$ ∴E B=D E $

∴四边形$ B E D F $为菱形