解：$(1)$将点$A(1，$$2)$代入反比例函数表达式得，$2=\frac {k_2}1，$$k_2=2$
∴反比例函数表达式为$y=\frac 2x$
将点$B(m，$$-1)$代入反比例函数表达式得，$m=-2$
将点$A(1，$$2)、$$B(-2，$$-1)$代入一次函数得$\begin{cases}k_1+b=2\\-2k_1+b=-1\end{cases} $
∴一次函数表达式为$y=x+1$
$ (2)y_2＜y_1＜y_3$
$ (3)$由图像可得，$x＞1$或$-2＜x＜0$
