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解:$(1)$将点$A$代入函数表达式得$2=\frac {k-1}{-1},$$k=-1$
$ (2)$若$k=13,$则函数表达式为$y=\frac {12}x$
$3×4=12,$点$B$在函数图像上;$2×5=10≠12,$点$C$不在函数图像上
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