解：$(1)$由$CD=AB$可得，点$C$的坐标为$(4，$$3)$
设反比例函数的表达式为$y=\frac kx$
将点$C(4，$$3)$代入得，$3=\frac k 4，$$k=12$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac {12}x$
$ (2)$平移后点$ D^{\prime} $的坐标为$ (m，$$ m+3)$
若点$D'$在反比例函数图像上
∴$ m $满足的表达式为$ m+3= \frac {12}m $
$ (3)$翻折之后点$ B^{\prime \prime} $的坐标为$ (2，$$6) $
当$ x=2 $时，$ y=\frac {12}2=6$
∴点$ B^{\prime \prime} $在反比例函数的图像上
