解：$(1)$∵点$E$是对角线$BD$的中点
又∵四边形$ABCD$是矩形
∴点$E$是$AC$的中点
∵点$E$的纵坐标为$m$
∴点$A$的纵坐标为$2m$
$(2)$∵$∠ABD=45°$
∴$AD=AB=2m$
∵点$A$在函数$y=\frac 3 x$的图像上，且点$A$的纵坐标为$2m$
∴$A(\frac 3 {2m}，$$2m)$
∴$B(\frac 3 {2m}，$$0)，$$D(\frac 3{2m}+2m，$$2m)$
∵$E$是$BD$的中点
∴$E(\frac 3 {2m}+m，$$m)$
∵$E$在函数$y=\frac 3 x$的图像上
∴$m(\frac 3 {2m}+m)=3$
解得，$m=\frac {\sqrt {6}}2($负值舍去)
∴$m$的值为$\frac {\sqrt {6}}2$
