解:$(1)$将$A(1,$$6)$代入$y=\frac mx,$得
$m=6$
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b,$
将$A(1,$$6)$和$B(6,$$1)$代入$y=kx+b,$得${{\begin{cases} {{k+b=6}} \\{6k+b=1} \end{cases}}}$
解得,${{\begin{cases} {{k=-1}} \\{b=7} \end{cases}}}$
∴直线$AB$的函数表达式为$y=-x+7$
$(2)(2,$$4),$$(3,$$3),$$(4,$$2)$