解：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形
∴$AD=DC=BC，$$∠ADC=∠BCD=90°$
∵$△DCE$是等边三角形
∴$ED=DC=EC，$$∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°$
∴$AD=ED，$$∠ADE=150°$
∴$∠DEA=15°$
同理，$∠CEB=15°$
∴$∠AEB=60°-15°-15°=30°$
$(2)$此时$∠AEB$的度数还是$30°，$证明如下：
第一种情况，如图①，当点$B、$$C、$$E$在一条直线上(或点$A、$$D、$$E$在一条直线上)时，
易证$∠AEB=30°$
第二种情况，如图②，易证$△ADE$和$△BCE$是等腰三角形
设$∠ADC=x°，$则$∠BCD=(180-x)°$
∴$∠ADE=(60+x)°，$$∠BCE=(240-x)°$
通过计算可得$∠AED=(60-\frac 12x)°，$$∠BEC=(\frac 1 2x-30)°$
∴$∠AED+∠BEC=30°$
∴$∠AEB=30°$
第三种情况，如图③，易证$△ADE$和$△BCE$是等腰三角形
设$∠ADC=x°，$则$∠BCD=(180-x)°$
∴$∠ADE=(60+x)°，$$∠BCE=(120+x)°$
通过计算，得$∠AED=(60-\frac 1 2x)°，$$∠BEC=(30-\frac 1 2x)°$
∴$∠AEB=∠CED+∠BEC-∠AED=60°+(30-\frac 1 2x)°-(60-\frac 1 2x)°=30°$
