第136页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

解：$(1)$过点$D$作$DE⊥AB，$过点$B$作$BF⊥AD，$垂足分别为$E、$$F，$如图所示

由题意得，$AD//BC，$$AB//CD，$$DE=BF$

∴四边形$ABCD$是平行四边形

∵$S_{▱ABCD}=AB·DE=AD·BF$

又∵$DE=BF$

∴$AB=AD$

∴四边形$ABCD$是菱形

$(2)$如图所示

解：$(1)$∵ 四边形$ABCD$是菱形

∴$AB=BC=CD=DA，$$AC⊥BD$

$DA=OC，$$OB=OD，$$∠DAO=∠BAO$

在$△AOD$中，$∠AOD=90°$

∵$OE$是中线

∴$AE=BE=OE$

∴$∠DAO =∠EOA$

∴$∠BAO=∠EOA$

∴$OE//AB$

又∵$OG//EF$

∴四边形$OEFG$是平行四边形

∵$∠EFG=90°$

∴四边形$OEFG$是矩形

$(2)$易知$OE=AD=5，$$AF=3，$$BG=10-3-5=2$

$(1)$证明：∵$△ABE$是等边三角形

∴$BA=BE，$$∠ABE=60°$

∵$∠MBN=60°$

∴$∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，$即$∠BMA=∠NBE$

又∵$MB=NB$

∴$△AMB≌△ENB(\mathrm {SAS})$

$(2)$解：①当点$M$落在$BD$的中点时，$AM+CM$的值最小

②如图，连接$CE，$当点$M$位于$BD$与$CE$的交点处时，$AM+BM+CM$的值最小

证明：连接$MN$

由$(1)$知，$△AMB≌△ENB$

∴$AM=EN$

∵$∠MBN=60°，$$MB=NB$

∴$△BMN$是等边三角形

∴$BM=MN$

∴$AM+BM+CM=EN+MN+CM$

根据“两点之间线段最短”，得$EN+MN+CM=EC$最短

∴当点$M$位于$BD$与$CE$的交点处时，$AM+BM+CM$的值最小，即等于$EC$的长