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证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC，$$AB=CD$

∴$∠GBC=∠BGA$

又∵$BG$平分$∠ABC$

∴$∠ABG=∠GBC$

∴$∠ABG=∠AGB$

∴$AB=AG$

同理$DE=CD$

∴$AG=DG$

∴$.AG-EG=DE-EG，$即$AE=DG$

证明：在正方形$ABEF$和正方形$BCMN$中，

$AB=BE=EF，$$BC=BN，$$∠FEN=∠EBC=90°$

∵$AB=2BC$

∴$EN=BC$

∴$△FNE≌△ECB$

∴$FN=EC$

解：如图，四边形$AECF$是菱形

∴$AB=AC，$$AM$平分$∠CAD$

∴$∠B=∠ACB，$$∠CAD=2∠CAM$

∵$∠CAD$是$△ABC$的外角

∴$∠CAD=∠B+∠ACB$

∴$∠CAD=2∠ACB$

∴$∠CAM=∠ACB$

∴$AF//CE$

∵$EF$垂直平分$AC$

∴$OA=OC，$$∠AOF=∠COF=90°$

∴$△AOF≌△COE$

∴$AF=CE.$在四边形$AECF$中，$AF//CE，$$AF=CE$

∴四边形$AECF$是平行四边形

又∵$EF⊥AC$

∴四边形$AECF$是菱形

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