解：$(1)$将点$A$代入$y_1=\frac mx$得，$m=2$
$∴y_1=\frac 2x$
将点$B$代入$y_1=\frac 2x$得，$n=-1$
将点$A(1，$$2)，$$B(-2，$$-1)$代入一次函数表达式得
$\begin{cases}k+b=2\\-2k+b=-1\end{cases} $
∴一次函数的表达式为$y_2=x+1$
$(2)$由图可得，当$x＜-2$或$0＜x＜1$时，$y_1＞y_2$
$(3)$点$C(0，$$1)$
$S_{△AOC}=\frac 12×1×1=\frac 12$
