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证明：$(1)$在$△AEM$和$△DEN$中

$ \begin{cases}∠NDE=∠MAE\\∠NED=∠MEA\\DE=AE\end{cases}$

$ ∴△DEN≌△AEM(\mathrm {AAS})$

$ ∴DN=AM$

$ ∵DN//AM$

∴四边形$AMDN$是平行四边形

$ (2)$当$AM=1$时，四边形$AMBN$是矩形

$ ∵AB=AD=2，$$AM=1，$$∠DAB=60°$

$ ∴∠DMA=90°$

∴四边形$AMDN$是矩形

证明：$(1)①∵△ABC$和$△ADE$是等边三角形

$ ∴AB=AC ，$$AE=AD，$$∠DAE=∠BAC=60°$

$ ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，$即$∠BAE=∠CAD$

$ ∴△AEB≌△ADC(\mathrm {SAS})$

②四边形$BCGE$是平行四边形，理由如下：

由①得$△AEB≌△ADC$

$ ∴∠ABE=∠C=60°$

又$∵∠BAC=∠C=60°$

$ ∴∠ABE=∠BAC$

$ ∴BE//AC$

又$EF//BC$

∴四边形$BCGE$是平行四边形

$ (2)(1)$中的结论仍成立

$ (3)$当$CD=CB$时，四边形$BCGE$是菱形，理由如下：

由$△AEB≌△ADC，$得$BE=CD$

又$CD=CB$

$ ∴BE=CB$

又知四边形$BCGE$是平行四边形

∴四边形$BCGE$是菱形

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