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第123页

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证明：∵四边形$ABCD$为矩形

$ ∴∠B=∠C=90°，$$AB=CD$

$ ∵EF⊥ED $

$ ∴∠BEF+∠CED=∠FED=90°$

$ ∵∠BEF+∠BFE=90°$

$ ∴∠BFE=∠CED$

在$△BFE$和$△CED$中

$ \begin{cases}∠B=∠C\\∠BFE=∠CED\\EF=ED\end{cases}$

$ ∴△BFE≌△CED(\mathrm {AAS})$

$ ∴BE=CD$

$ ∴AB=BE，$

$ ∴∠BAE=45°$

$ ∴AE$平分$∠BAD$

证明：$(1)$由翻折的性质可得，$∠ABE=∠EBM=\frac 12∠ABM，$$∠BDF=∠CDF=\frac 12∠BDC$

$ ∵AB//CD$

$ ∴∠ABD=∠BDC$

$ ∴∠EBM=∠BDF$

$ ∴BE//DF$

$ ∵AD//BC$

∴四边形$BFDE$为平行四边形

$ (2)∵$四边形$BFDE$为菱形

$ ∴BF=DF$

$ ∴∠FBD=∠BDF$

$ ∵∠FBD+2∠BDF=90°$

$ ∴∠FBD=30°$

$ ∵AB=CD=2$

$ ∴BD=4$

$∴AD=\sqrt{4²-2²}=2\sqrt{3}$

$∴BC=AD=2\sqrt{3}.$