解：$(1)$空瓶子装满水后，瓶子内水的质量：
$m_{水}=m_{总}-m_{瓶}=650\ \mathrm {g}-150\ \mathrm {g}=500\ \mathrm {g}，$
因瓶中装满水，则由$ρ=\frac {m}{V}$得瓶子的容积：
$V=V_{水}=\frac {m_{水}}{ρ_{水}}=\frac {500\ \mathrm {g}}{1\ \mathrm {g/cm}^3}=500\ \mathrm {cm}^3；$
$(2)$向瓶中放入某种金属碎片$500\ \mathrm {g}，$
溢出水的质量$m_{溢}=m_{总}+m_{金属}-m_{剩}=650\ \mathrm {g}+500\ \mathrm {g}-950\ \mathrm {g}=200\ \mathrm {g}；$
$(3)$金属碎片的体积等于溢出水的体积，即$V_{金属}=V_{溢出}=\frac {m_{溢出}}{ρ_{水}}=\frac {200\ \mathrm {g}}{1\ \mathrm {g/cm}^3}=200\ \mathrm {cm}^3，$
根据密度公式可知金属碎片的密度$ρ_{金属}=\frac {m_{金属}}{V_{金属}}=\frac {500\ \mathrm {g}}{200\ \mathrm {cm}^3}=2.5\ \mathrm {g/cm}^3.$
