解：$(1) $∵$\triangle A_1\ \mathrm {B}_1\ \mathrm {C}_1 $是$ \triangle A B C $向右平移$ 4 $个单位长度后得到
∴ 将$ \triangle A_1\ \mathrm {B}_1\ \mathrm {C}_1 $向左平移$ 4 $个单位长度即得到$ \triangle A B C ，$如图所示
∵$A_1(1，1)， B_1(4，2)， C_1(3，4) $
∴$A(-3，1)， B(0，2)， C(-1，4)；$
$(2)$∵$A_1(1，1) 、$$ A(-3，1)， O(0，0) $
∴$A A_1\ \mathrm {/} / x 轴 $
∴$O 到 A A_1 的距离为 1 $
∴$S_{\triangle A O A_1}=\frac {1}{2}[1-(-3)] ×1=\frac {1}{2} ×4 ×1=2.$
