解：$(1)$根据题意, 可得
$y=150 ×6 x+260 ×5(20- x)=-400 x+26000(0 \leqslant x \leqslant 20) ；$
$(2) $由题意, 知$ y \geqslant 24000 ，$即$ -400 x+26000 \geqslant 24000 ，$
令$ -400 x+26000=24000 ，$解得$ x=5 . $
∵在$ y=-400 x+26000 $中$，-400<0 ，$
∴${y} $的值随$ {x} $的值的增大而减少,
∴ 要使$ -400 x+26000 \geqslant 24000 ， $需$ x \leqslant 5 ，$
即最多可派$5$名工人制造甲种零件,
此时有$ 20-x=20-5=15 ($名).
答: 至少要派$15$名工人制造乙种零件才合适。
