证明：$(1) $∵$A D / / B C， $
∴∵$A D C+\angle C=180°， $
∵$D E \perp D C 交 A B 于 E， $
∴$\angle E D C=90°， $
∴$\angle B D E+\angle B D C=90°， $
∴$\angle A D E+\angle C=90°， $
∵$\angle B D C=\angle B C D， $
∴$\angle B D E=\angle A D E，$
$ 即 D E 平分 \angle A D B ； $
$(2) ① $∵$D E $平分$ \angle A D B， B F $平分$ \angle A B D ，$
∴$\angle E D B=\frac {1}{2} \angle A D B， \angle D B F=\frac {1}{2} \angle A B D， $
∴$\angle E D B+\angle D B F =\frac {1}{2}(\angle A D B+\angle A B D) $
∵$\angle A+\angle A D B+\angle A B D=180°，$
∴$\angle E D B+\angle D B F=90°-\frac {1}{2} \angle A， $
∵$\angle E D F=90°， \angle F=α=50°， $
∴$\angle F G D=40°， $
∵$\angle F G D=\angle E D B+\angle D B F， $
∴$90°-\frac {1}{2} \angle A=40°，$
解得$ \angle A=100° ；$
$② $∵$A D / / B C， $
∴$\angle A D B=\angle D B C， $
∴$\angle E D B+\angle D B F =\frac {1}{2}(\angle A D B+\angle A B D)=\frac {1}{2} \angle A B C ，$
∵$\angle F G D=\angle E D B+\angle D B F， $
∴$\angle F G D=\angle A B C， $
∵$\angle F<\frac {1}{2} \angle A B C， $
∴$\angle F<\angle F G D， $
∵$\angle F+\angle F G D=90°， $
∴$\angle F<45°，$
$ 即 0<α<45° . $
