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解$：(1)$由题意可得$：[-(2k+4)]²-4k(k-6)＞0，$且$k≠0，$

解得$k＞- \frac {2}{5}$且$k≠0$

$(2)$当$k=1$时，原方程可化为$x²-6x-5=0，$

$x²-6x=5，$

$x²-6x+9=5+9，$

$(x-3)^2=14，$

$x-3=±\sqrt {14}，$

即$x-3=\sqrt {14}$或$x-3=-\sqrt {14}，$

$x_1=3+\sqrt {14}，$$x_2=3-\sqrt {14}$

证明$：(1)△=(-4m)²-4×3m²=16m²-12m²=4m²≥0$

所以该方程总有两个实数根.

$(2)$因为$x²-4mx+3m²=0$

所以$x_1=m，x_2=3m$

因为$m＞0$

所以$x_2-x_1=2$

所以$3m-m=2$

所以$m=1$

解：$(1)$将$x=-1$代入原方程得：$(a+c)-2b-(a-c)=2c-2b=0，$

即$b=c，$

$∴△ABC$为等腰三角形.

$(2)∵$方程有两个相等的实数根，

$∴△=(2b)^2+4(a+c)(a-c)=4b^2+4a^2-4c^2=0，$

$∴a^2+b^2=c^2，$

$∴△ABC$为直角三角形.

$(3)∵△ABC$是等边三角形，

$∴a=b=c，$

∴原方程为$x^2+x=x(x+1)=0，$

解得：$x_1=0，$$x_2=-1.$

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