解:如图.设$BE=t. $
$∵ EF=10，$
$∴ OE=OG=OH=5.$
$∵ ∠GOH=90°，$
$ ∴ ∠AOG+∠BOH=90°$
∵ 在矩形$ABCD$中$，∠DAB=∠ABC=90°， $
$∴ ∠AGO+∠AOG=90°，$
$∴ ∠AGO = ∠BOH. $
在$ △GAO $和$ △OBH $中，
$\begin{cases}{∠GAO=∠OBH=90°，}\\{∠AGO=∠BOH， }\\{OG=HO，}\end{cases}$
$∴ △GAO≌△OBH， $
$∴ GA=OB=BE-OE=t-5. $
$∵ AB=7，$
$∴ AE=BE-AB=t-7， $
$∴ AO=OE-AE=5-(t-7)=12-t.$
在$Rt△GAO$中，由勾股定理，得$AG²+AO²=OG²， $
$∴ (t-5)²+(12-t)²=5²，$
即$t²-17t+72=0，$
解得$t_{1}=8，t_{2}=9，$
$∴ BE$的长为$8$或$9$
