证明：$(1) ∵ OA⊥BD，$
$∴ ∠AOB=∠AOD=90°，$
$∴ \widehat{AB}=\widehat{AD}$
$∴ ∠ACB=∠ACD，$
$∴CA$平分$∠BCD$
$(2)$如图，延长$AE$交$BC$于点$M，$延长$CE$交$AB$于点$N.$
$∵ AE⊥BC，$$CE⊥AB，$
$∴ ∠AMB=∠CNB=90°.$
$∵ BD$是$⊙O$的直径，
$∴ ∠BAD=∠BCD=90°，$
$∴ ∠BAD=∠CNB，$$∠BCD=∠AMB，$
$∴ AD//NC，$$CD//AM，$
∴ 四边形$AECD$是平行四边形，
$∴ CD=AE=3，$
∴ 在$Rt△BCD$中$，BC= \sqrt{BD-CD²} = \sqrt{(3\sqrt{3})²-3²} =3 \sqrt{2}$
