第51页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

∠ACE

$△BCD$

解$：(2)$四边形$OAEB$为菱形,理由:

$∵ △ABC$为等边三角形，

$∴ AC=BC，$$∠ACB=60°$

$∵ CO=CO，OA=OB， $

$∴ △ACO≌△BCO，$

$∴ ∠ACO=∠BCO=30°$

$∵ \widehat{AE}=\widehat{AE}， $

$∴ ∠AOE=2∠ACO=60°. $

$∵ OA=OE， $

$∴ △OAE$为等边三角形，

$∴ OE=AE.$

同理，可证$OE=BE， $

$∴ OA=OB=AE=BE， $

∴ 四边形$OAEB$为菱形

证明：$(1)∵△ABC$为等腰直角三角形，$∠BAC=90°，$

$∴ AB=AC，$$∠C=∠ABC=45°. $

$∵ \widehat{AP}=\widehat{AP}，$

$∴ ∠AEP=∠ABP=45°. $

$∵ PE$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠PAE=90°，$

$∴ ∠APE=∠AEP=45°，$

$∴ AP=AE，$

$∴ △APE$是等腰直角三角形

$(2)$连接$BE. $

$∵ ∠BAC=90°，$$∠PAE=90°，$

$∴ ∠BAC=∠PAE，$

∴ 易得$∠CAP=∠BAE. $

$∵ AC=AB，$$AP=AE，$

$∴ △APC≌AEB，$

$∴ PC=EB. $

$∵ PE$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠PBE=90°，$

∴ 在$Rt△PBE$中，$EB²+PB²=PE²=2²=4，$

$∴ PC²+PB²=4$

解:分以下三种情况讨论:

$ (1) $如图 ①, 当点$ P $在线段$ O A $上时,

在$ \triangle Q O C $中$， ∵O C=O Q， ∴\angle Q=\angle C . $

在$ \triangle O P Q $中$，∵Q P=Q O， ∴\angle Q O P=\angle Q P O . $

$ ∵\angle A O C=30° ，$

$ ∴\angle Q P O=\angle C+\angle A O C=\angle C+30° . $

又$ ∵\angle Q O P+ \angle Q P O+\angle Q=180° ， $

即$ (\angle C+30°)+(\angle C+30°)+\angle C= 180°， $

$ ∴\angle C=40° ， $即$ \angle O C P=40° . $

$ (2)$如图②, 当点$ P $在线段$ O A $的延长线上时,

在$ \triangle Q O C $中$， ∵O C=O Q， ∴\angle O Q P= \angle O C Q=\frac {1}{2}(180°-\angle Q O C) . $

在$ \triangle O P Q $中$， ∵Q P=Q O ， ∴\angle O P Q=\angle Q O P . $

又$ ∵\angle O P Q+\angle Q O P+\angle O Q P=180° ，\angle Q O P=\angle Q O C+\angle A O C=\angle Q O C+30°，$

$ ∴(\angle Q O C+30°)+ (\angle Q O C+30°)+\frac {1}{2}(180°-\angle Q O C)=180° . $

$ ∴\angle Q O C=20° .$

$ ∴\angle O Q P=80° . $

$ ∴\angle O C P=\angle Q O C+\angle O Q P=100° .$

$ (3)$如图③, 当点$ P $在线段$ O A $的反向延长线上时,

在$ \triangle Q O C $中$，∵O C=O Q， ∴\angle O C P=\angle O Q C . $

在$ \triangle O P Q $中$， ∵Q O=Q P ，∴\angle Q P O=\angle Q O P=\frac {1}{2} \angle O Q C=\frac {1}{2} \angle O C P . $

$ ∵\angle A O C=30° ，∴\angle Q P O+\angle O C P=30° ， $

即$ \frac {1}{2} \angle O C P+\angle O C P=30° .$

$ ∴\angle O C P=20° . $

综上所述$， \angle O C P $的度数为$ 40° 、$$ 100° $或$ 20° $