解：连接$AC$
$ ∵DC$是$⊙A$的切线
$ ∴AC⊥CD$
又∵四边形$ABCD$是平行四边形
$ ∴AB=AC=CD，$$AB//CD$
$ ∴△ACD$是等腰直角三角形
$ ∴∠CAD=45°，$$∠CAF=90°$
$ ∴∠EAF=∠CAF-∠CAD=45°$
$ ∵{\widehat{EF}}$的长为$\frac {π}2$
设$⊙A$的半径为$r$
$ ∴\frac {π}2=\frac {45πr}{180}$
解得，$r=2$
$ ∴{S}_{阴影}={S}_{△ACD}-{S}_{扇形ACE}=\frac 1 2×2×2-\frac {45π×{2}^2}{360}=2-\frac π 2$
